優先度付きキュー系モジュールのベンチマーク

『Purely Functional Data Structures』(略:PFDS)で紹介されている優先度付きキュー(+ α)をいくつか実装してみたので、その性能測定メモ。
なおPFDSは(データ構造がヒープ特性を満たしているかどうかに関係なく)優先度付きキュー群をまとめてヒープと呼称しているようなので、以降ではそれに倣うことにする。

測定対象

リポジトリ: heaps-0.0.3

測定対象モジュールは以下の通り:

leftist_heaps:
- PFDSの3.1の実装がベース
- ヒープ特性とLeftist特性を満たす二分木
  - ヒープ特性: 親ノードの値は、常に子ノードの値以下 (値が小さいほど高優先)
  - Leftist特性: 左の子のランクは、常に右の子のランク以上
  - ランクは「右の子を辿り続けて空ノードに至るまでのパスの長さ」
- 要素の挿入とヒープ同士のマージはO(log n)、最小値取り出しはO(1)、の最悪コスト
binomial_heaps:
- PFDSの3.2の実装がベース
- 森
  - ルートの各木はヒープ特性を満たす多分木
- 要素数の数値表現(ビット表現)に対応した構造が常に維持されるのが特徴
- 挿入はO(1)、マージと取り出しはO(log n)、の償却コスト
splay_heaps:
- PFDSの5.4の実装がベース
- 二分探索木
- 各操作実行時に辿った経路のみをバランス(スプレー)し、よくアクセスされる要素ほど木のルート近くに配置されるようにする
- 挿入/取り出しはO(log n)の償却コスト
- マージはO(n)の最悪コスト
pairing_heaps:
- PFDSの5.5の実装がベース
- ヒープ特性を満たす多分木
- 要素の挿入やマージ時には木のバランスを取ることはしない
  - ルート要素と比較して、その親にするか子にするかを決めるだけ
  - 要素取り出し時に直下の子供たちに対してマージを適用して部分バランスを行う
- 挿入/マージ/取り出しはO(log n)の償却コスト
  - 証明はされていないが、挿入とマージはO(1)の償却コストであると推測されているらしい
gb_set_heaps:
- gb_setsを内部で利用しているヒープ
  - gb_setsはErlang/OTPの標準ライブラリに含まれる平衡２分探索木
  - gb_setsは名前の通り集合を表現するものであり、ヒープのような重複を許容するデータ構造には直接転用できない
    - 仕方がないので、各要素をユニークにするためのシーケンス番号を追加で付与するようにした
    - => 本来的には不要なオーバヘッドが増えてしまっているのだけは、計測時に若干留意しておく必要がある
- 挿入/取り出しはO(log n)の最悪コスト
- マージはおそらくO(n)かO(n log n)の最悪コスト (推測であり未確認)
list_heaps:
- ソート済みリストによるヒープ実装
- 挿入とマージはO(n)の最悪コスト
- 取り出しはO(1)の最悪コスト (単にリストの先頭要素を取り出すだけ)

環境

CPU: Intel(R) Core(TM) i7-5600U CPU @ 2.60GHz
OS: Ubuntu-15.04
Erlang/OTP: 17.5; パッケージ(.deb)

測定内容

測定用コード: heaps_bench.erl

以下の操作に掛かる時間を計測する:

要素の挿入:
- ひたすら要素を挿入して、一回辺りの挿入に掛かった平均時間を計測する
- 入力数は4^n (n = 2..7)
- 入力列のパターンは昇順、降順、ランダムの３つ
最小要素の取り出し:
- 全入力要素の挿入後に、ひたすら最小要素の取り出しを行い、一回辺りの取り出しに掛かった平均時間を計測する
- 入力数は4^n (n = 2..7)
- 入力列のパターンは昇順、降順、ランダムの３つ
挿入と取り出しの混合:
- 常時一定数の要素を保持しているヒープに対して、挿入と取り出しを繰り返す　 - セッション群やキャッシュ群の有効期限管理を行う場合等によくあるユースケース
  - スコアは(未来の)UNIXタイムスタンプとしてヒープに挿入し、その時間を実際に過ぎたら、有効期限切れとしてヒープから除去する
- 今回は、具体的には以下のような条件で計測を行う
  - ヒープの要素数は常に4^n (n = 2..7)
  - このヒープに対して「要素取り出し + 優先度が最低の要素の挿入」を一万回繰り返し、一回の処理の平均所要時間を計測する
二つのヒープのマージ:
- 要素数が4^n (n = 2..5)の二つのヒープのマージを千回繰り返し、一回の平均所要時間を計測する
- 各ヒープの要素にはランダムな値が使用される

測定結果

要素の挿入

計測内容(再掲):

ひたすら要素を挿入して、一回辺りの挿入に掛かった平均時間を計測する
入力数は4^n (n = 2..7)
入力列のパターンは昇順、降順、ランダムの３つ

入力が昇順の場合

%% [計測関数]
%% N = 2..7
> heaps_bench:bench_in(lists:seq(1, trunc(math:pow(4, N)))).

結果:

入力数	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
16	0.395 μs	0.229 μs	0.125 μs	0.083 μs	0.854 μs	0.270 μs
64	0.422 μs	0.120 μs	0.089 μs	0.073 μs	1.115 μs	0.656 μs
256	0.533 μs	0.121 μs	0.063 μs	0.056 μs	1.467 μs	2.460 μs
1024	0.672 μs	0.115 μs	0.061 μs	0.054 μs	1.995 μs	10.372 μs
4096	0.838 μs	0.147 μs	0.118 μs	0.107 μs	2.823 μs	41.247 μs
16384	1.050 μs	0.130 μs	0.078 μs	0.067 μs	2.846 μs	166.472 μs

pairing_heapsが一番高速
paring_heaps、splay_heaps、binomial_heapsは入力数によらずO(1)で挿入可能
leftist_heapsとgb_set_heapsはO(log n)
list_heapsはO(n) (常にリストの末尾への追加となる)

入力が降順の場合

%% [計測関数]
%% N = 2..7
> heaps_bench:bench_in(lists:seq(trunc(math:pow(4, N)), 1, -1)).

結果:

入力数	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
16	0.146 μs	0.146 μs	0.063 μs	0.063 μs	0.688 μs	0.063 μs
64	0.161 μs	0.135 μs	0.089 μs	0.063 μs	0.932 μs	0.031 μs
256	0.111 μs	0.126 μs	0.068 μs	0.057 μs	1.297 μs	0.026 μs
1024	0.131 μs	0.119 μs	0.068 μs	0.056 μs	1.737 μs	0.029 μs
4096	0.127 μs	0.119 μs	0.083 μs	0.063 μs	2.493 μs	0.049 μs
16384	0.147 μs	0.166 μs	0.079 μs	0.072 μs	2.574 μs	0.032 μs

list_heapsが一番高速 (常にリストの先頭への追加となる)
- ただしpairing_heapsとsplay_heapsの所要時間も(単なる先頭要素の追加に対して)二倍程度に収まっているので悪くはない
list_heaps、paring_heaps、splay_heaps、binomial_heaps、leftist_heapsは入力数によらずO(1)で挿入可能
gb_set_heapsだけがO(log n)

入力がランダムの場合

%% [計測関数]
%% N = 2..7
> heaps_bench:bench_in([random:uniform() || _ <- lists:seq(1, trunc(math:pow(4, N)))]).

結果:

入力数	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
16	0.313 μs	0.125 μs	0.208 μs	0.063 μs	0.604 μs	0.146 μs
64	0.344 μs	0.135 μs	0.344 μs	0.073 μs	0.750 μs	0.401 μs
256	0.367 μs	0.132 μs	0.480 μs	0.053 μs	0.930 μs	1.323 μs
1024	0.493 μs	0.131 μs	0.727 μs	0.058 μs	1.171 μs	5.988 μs
4096	0.528 μs	0.150 μs	1.014 μs	0.060 μs	1.811 μs	24.181 μs
16384	0.724 μs	0.163 μs	1.209 μs	0.078 μs	2.027 μs	93.670 μs

pairing_heapsが一番高速
paring_heaps、binomial_heapsは入力数によらずO(1)で挿入可能
leftist_heaps、splay_heaps、gb_set_heapsはO(log n)
list_heapsはO(n)

実測結果のまとめ (挿入)

注意: 以降に出てくる実測値のオーダーは観測値を眺めての印象に基づくものであり、厳密なものではない

オーダー:

入力パターン	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
昇順	1	1	1	1	log n	n
降順	log n	1	1	1	log n	1
ランダム	log n	1	log n	1	log n	n

入力数=1024(4^5)の際の平均所要時間(μs):

入力パターン	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
昇順	0.672	0.115	二番:0.061	最速:0.054	1.995	10.372
降順	0.131	0.119	0.068	二番:0.056	1.737	最速:0.029
ランダム	0.493	二番:0.131	0.727	最速:0.058	1.171	5.988

pairing_heapsは優秀。

最小要素の取り出し

計測内容(再掲):

全入力要素の挿入後に、ひたすら最小要素の取り出しを行い、一回辺りの取り出しに掛かった平均時間を計測する
入力数は4^n (n = 2..7)
入力列のパターンは昇順、降順、ランダムの３つ

入力が昇順の場合

%% [計測関数]
%% N = 2..7
> heaps_bench:bench_out(lists:seq(1, trunc(math:pow(4, N)))).

結果:

入力数	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
16	0.375 μs	0.167 μs	0.125 μs	0.208 μs	0.250 μs	0.042 μs
64	0.453 μs	0.214 μs	0.156 μs	0.167 μs	0.203 μs	0.063 μs
256	0.599 μs	0.230 μs	0.143 μs	0.164 μs	0.241 μs	0.047 μs
1024	0.842 μs	0.285 μs	0.156 μs	0.179 μs	0.230 μs	0.047 μs
4096	1.243 μs	0.286 μs	0.170 μs	0.316 μs	0.245 μs	0.043 μs
16384	1.428 μs	0.322 μs	0.156 μs	0.183 μs	0.268 μs	0.049 μs

list_heapsは先頭要素を取り出すだけなので速い
binomial_heapsとleftist_heapsはO(log n)。後者の方が劣化が激しい。
gb_set_treesがO(1)に見えるのが意外 (微増はしているけど)

入力が降順の場合

%% [計測関数]
%% N = 2..7
> heaps_bench:bench_out(lists:seq(trunc(math:pow(4, N)), 1, -1)).

結果:

入力数	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
16	0.083 μs	0.188 μs	0.083 μs	0.063 μs	0.292 μs	0.042 μs
64	0.078 μs	0.229 μs	0.083 μs	0.052 μs	0.234 μs	0.063 μs
256	0.063 μs	0.230 μs	0.066 μs	0.057 μs	0.270 μs	0.046 μs
1024	0.069 μs	0.276 μs	0.073 μs	0.060 μs	0.249 μs	0.044 μs
4096	0.060 μs	0.297 μs	0.065 μs	0.061 μs	0.275 μs	0.045 μs
16384	0.068 μs	0.404 μs	0.069 μs	0.059 μs	0.287 μs	0.059 μs

一番速いのはやっぱりlist_heaps
ただし降順の場合は、lefist_heaps/splay_heaps/pairing_heaps、の所要時間がだいぶlist_heapsに近づいている
binomial_heapsとgb_set_heapsの傾向は、昇順の場合とほぼ同様

入力がランダムの場合

%% [計測関数]
%% N = 2..7
> heaps_bench:bench_out([random:uniform() || _ <- lists:seq(1, trunc(math:pow(4, N)))]).

結果:

入力数	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
16	0.271 μs	0.417 μs	0.208 μs	0.188 μs	0.271 μs	0.042 μs
64	0.427 μs	0.526 μs	0.130 μs	0.313 μs	0.224 μs	0.068 μs
256	0.590 μs	0.779 μs	0.104 μs	0.406 μs	0.236 μs	0.042 μs
1024	0.807 μs	1.027 μs	0.116 μs	0.578 μs	0.310 μs	0.049 μs
4096	1.238 μs	1.643 μs	0.110 μs	0.684 μs	0.304 μs	0.056 μs
16384	1.543 μs	1.637 μs	0.107 μs	0.864 μs	0.326 μs	0.051 μs

lists_heapsが最速なのは変わらず
lefist_heaps, pairing_heaps, gb_set_heapsがO(log n)になり、他の入力順よりも性能が落ちている感がある

実測結果のまとめ (取り出し)

オーダー:

入力パターン	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
昇順	log n	log n	1	1	1	1
降順	1	log n	1	1	1	1
ランダム	log n	log n	1	log n	log n	1

入力数=1024(4^5)の際の平均所要時間(μs):

入力パターン	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
昇順	0.842	0.285	二番:0.156	0.179	0.230	最速:0.047
降順	0.069	0.276	0.073	二番:0.060	0.249	最速:0.044
ランダム	0.807	1.027	二番:0.116	0.578	0.310	最速:0.049

当然list_heapsが一番速い (全てのケースでリストの先頭要素を取り出すだけ)
二番目はsplay_heaps、三番目はpairing_heapsかgb_set_heapsのどちらか、といったところ

挿入と取り出しの混合

計測内容(再掲):

常時一定数の要素を保持しているヒープに対して、挿入と取り出しを繰り返す
- セッション群やキャッシュ群の有効期限管理を行う場合等によくあるユースケース
- スコアは(未来の)UNIXタイムスタンプとしてヒープに挿入し、その時間を実際に過ぎたら、有効期限切れとしてヒープから除去する
今回は、具体的には以下のような条件で計測を行う
- ヒープの要素数は常に4^n (n = 2..7)
- このヒープに対して「要素取り出し + 優先度が最低の要素の挿入」を一万回繰り返し、一回の処理の平均所要時間を計測する

%% [計測関数]
%% X = 2..7
> N = trunc(math:pow(4, X)),
> Input = [{in, I} || I <- lists:seq(1, N)] ++ [case I rem 2 of 0 -> out; 1 -> {in, I} end || I <- lists:seq(N+1, 10000+N+1)],
> heaps_bench:bench_in_out(Input).

結果:

入力数	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
16	0.316 μs	0.258 μs	0.145 μs	0.130 μs	0.514 μs	0.209 μs
64	0.492 μs	0.292 μs	0.153 μs	0.142 μs	0.746 μs	0.646 μs
256	0.706 μs	0.314 μs	0.163 μs	0.150 μs	1.037 μs	2.436 μs
1024	0.861 μs	0.355 μs	0.165 μs	0.151 μs	1.339 μs	9.645 μs
4096	1.093 μs	0.369 μs	0.165 μs	0.167 μs	1.816 μs	39.733 μs
16384	1.093 μs	0.275 μs	0.155 μs	0.151 μs	2.460 μs	170.720 μs
	O(log n)	O(1)	O(1)	O(1)	O(log n)	O(n)

paring_heaps、splay_heaps、binomial_heapsの３つが、ヒープ内の要素数に影響を受けずにO(1)で各操作が行えていた
特にpairing_heapsとsplay_heapsの性能は良好

二つのヒープのマージ

計測内容(再掲):

要素数が4^n (n = 2..5)の二つのヒープのマージを千回繰り返し、一回の平均所要時間を計測する
各ヒープの要素にはランダムな値が使用される

%% [計測関数]
%% X = 2..5
> HeapSize = lists:seq(1, trunc(math:pow(4, X)),
> heaps_bench:bench_merge(
    [begin
         {[random:uniform() || _ <- HeapSize], [random:uniform() || _ <- HeapSize]}
     end || _ <- lists:seq(1, 1000)]).

結果:

入力数	leftist	binomial	splay	pairing	gb_set	list
16	0.478 μs	0.141 μs	3.765 μs	0.102 μs	4.575 μs	1.174 μs
64	0.825 μs	0.197 μs	15.291 μs	0.114 μs	16.559 μs	5.072 μs
256	0.960 μs	0.196 μs	65.527 μs	0.114 μs	69.478 μs	28.971 μs
1024	1.279 μs	0.159 μs	261.275 μs	0.110 μs	264.889 μs	78.302 μs
	O(log n)	O(1)	O(n)	O(1)	O(n)	O(n)

pairing_heapsとbinomial_heapsはO(1)でマージできている
leftist_heapsはO(log n)だが、これも十分高速
残りはO(n)であり、マージが重要な用途での使用は現実的ではなさそうな感じ

感想

今回計測したほぼ全てのケースで良好な結果が出ているので、基本的にはpairing_heapsを使っておけば問題はなさそう。
ただしsplay_heapsとの差は(マージの場合を除けば)結構軽微なので、実装や利用途によってはsplay_heapsの方が良い可能性もあるかもしれない。